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糯米正在看机器学习的网课，我在旁边偷学了一点东西来，感觉还挺有意思的（结果自己的文献都没认真看完😢） ...

带有非期望产出的SBM模型(slacks-based measure)可用于处理多个投入和产出变量的效率测度问题，可用于工业经济绿色发展效率的分析。在绿色发展分析中，需要同时考虑经济收益（期望产出）和负面环境效应（非期望产出）的问题，一方面要提高经济收益，另一方面需要减少污染排放，是投入、期望产出和非期望产出三方权衡的问题。1 这个帖子记录了和非期望产出SBM模型苦苦斗争一个星期的学习成果。 数学原理 DEA模型/CCR模型 DEA SBM模型是数据包络分析(Data Envelopment Analysis, DEA)的一种。在DEA模型中，假定存在$n$个可比决策单元(decision making units, DMU)，记为$DMU_j(j=1,2,\dots,n)$； 每个$DMU$有$m$种投入，记为$X_i(i=1,2,\dots,m)$，每种投入的权重为$v_i$； 有$q$种产出，记为$Y_r(r=1,2,\dots,q)$，每种产出的权重为$u_r$. 对第$k$个可比决策单元而言，其投入产出比（技术效率）为 $$ H_k=\frac{\sum_{r=1}^qu_rY_{rk}}{\sum_{i=1}^mv_iX_{ik}}， $$ 限定范围为$H_k\in[0,1]$. 现要求在所有可比决策单元的效率均不超过$1$的条件下，调节权重$[v_1,v_2,\dots,v_m]$和$[u_1,u_2,\dots,u_q]$，使得被评价的单元$DMU_k$效率值最大化。即如下规划模型： $$ \begin{aligned} \max&~~ z=\frac{\sum_{r=1}^qu_rY_{rk}}{\sum_{i=1}^mv_iX_{ik}}\\ s.t.&~~ \frac{\sum_{r=1}^qu_rY_{rj}}{\sum_{i=1}^mv_iX_{ij}}\le1~ (v_i\ge0,u_r\ge0)\\ &~~ i=1,2,\dots,m;~r=1,2,\dots,q;~j=1,2,\dots,n \end{aligned} $$ 该模型所确定的权重系数组合是对于$DMU_k$最有利的。由于$\sum_{i=1}^mv_iX_{ik}>0$，模型的规划条件即为 $$ s.t.~~\sum_{r=1}^qu_rY_{rj}-\sum_{i=1}^mv_iX_{ij}\le0; $$ 在上述线性规划模型中，所要求的是投入和产出项目的指标权重，在原始意义上就是$\vec u$和$\vec v$。模型指定了一个可比决策单元$DMU_k$，在规划过程中力求这个单元最终的效率评价达到最高。实际应用中，如何选择这个特殊的$DMU$必然会成为问题的关键。或许需要根据决策者的感性判断（或其他手段辅助），选定一个最优的决策单元，或者人为设置一个对照的“理想型”，将其视为效率最高的情形。 投入导向CCR 令$t=\left(\sum_{i=1}^mv_iX_{ik}\right)^{-1}$，则模型的目标函数为 $$ \max ~~ z=t\sum_{r=1}^qu_rY_{rk}=\sum_{r=1}^qtu_rY_{rk}, $$ 令$\mu_{r}=tu_r, \nu_{i}=tv_i$，根据$t$的定义可知$\sum_{i=1}^m\nu_iX_{ik}=1$；将规划条件两边同乘$t$，得到 $$ s.t. ~~ \sum_{r=1}^q\mu_{r}Y_{rj}-\sum_{i=1}^m\nu_{i}X_{ij}\le0. $$ 从而将非线性规划模型转换为线性规划模型： $$ \begin{aligned} \max &~~ z=\sum_{r=1}^q\mu_{r}Y_{rk}\\ s.t. &~~ \sum_{r=1}^q\mu_{r}Y_{rj}-\sum_{i=1}^m\nu_{i}X_{ij}\le0~(\mu_r\ge0, \nu_i\ge0)\\ &~~ \sum_{i=1}^m\nu_iX_{ik}=1\\ &~~ i=1,2,\dots,m;~r=1,2,\dots,q;~j=1,2,\dots,n \end{aligned} $$ 其对偶模型为（对偶模型求解过程见文末）...

来自老师的课程资料，请勿商用 绪论 系统和系统科学 系统的定义 现代系统研究开创者贝塔朗菲对系统的定义： 系统是相互作用的多元素的复合体。 该定义的精确说法是 如果一个对象集合中至少有两个可以区分的对象，所有对象按照可以辨认的特有方式相互联系在一起，就称该集合为一个系统。集合中包含的对象成为系统的组成部分（组分），最小的、不需要再细分的组分称为系统的元素或要素。 重点： 至少两个元素——系统的多元性 组成部分相互作用——矛盾的统一 ...

系统问题的提出 关于系统、组织和复杂性的性质的问题并不是现代所特有的。正如国际系统工程委员会 (INCOSE) 的先驱和前国际系统科学学会 （ISSS）主席约翰·沃菲尔德所说， Virtually every important concept that backs up the key ideas emergent in systems literature is found in ancient literature and in the centuries that follow. 然而，直到20世纪中叶，人们才越来越意识到采用一种科学方法来解决“系统科学”中的组织和复杂性问题的必要性和可能性。1 ...