SETAR Model

SETAR的全称是“Self-Exciting Threshold Auto-Regressive (SETAR) models”，可用于对一个时间序列变量的模式演变进行阶段划分。该模型最早于1977年由Howell Tong提出¹。

考虑如下关于时间序列变量$y_t$的简单自回归模型$AR(p)$： $$ y_t=\gamma_0 + \gamma_1 y_{t-1}+\gamma_2 y_{t-2}+\dots+\gamma_py_{t-p}+\epsilon_t $$ 其中$\gamma_i(i=1,2,\dots,p)$是自回归的系数，$\epsilon_t$~$WN(0;\sigma^2)$是服从正态分布的白噪音项。、

改写成向量形式： $$ y_t = {\bf X_t}\gamma+\sigma\epsilon_t $$ 其中${\bf X_t}=[1, y_{t-1}, y_{t-2}, \dots, y_{t-p}]$是时间变量的行向量，$\gamma=[\gamma_0, \gamma_1, \gamma_2, \dots, \gamma_p]^{\rm T}$是系数列向量，$\epsilon_t$~$WN(0;1)$是服从标准正态分布的白噪音项。

在SETAR模型中，将$z_t=y_{t-d}$作为一个弱外源阈值变量(weakly exogenous threshold variable)，本质上就是$y_t$在迟滞项$d$之前的历史数值。SETAR模型的数学表达为： $$ y_t={\bf X_t}\gamma^{(j)}+\sigma^{(j)}\epsilon_t,~{\rm if} ~r_{j-1}<z_t<r_j $$ 其中$-\infty=r_0<r_1<\dots<r_k=+\infty$定义了$z_t$可能落入的$k$个区间。

在R语言中可以通过使用tsDynpackage里的函数setar()来进行SETAR模型分析，用法可以查看官方文档R: Self Threshold Autoregressive model (r-project.org)。另外，Michał Cukrow有一篇博客里给出了比较详细的解读和R例程（Threshold Autoregressive Models — beyond ARIMA + R Code | by Michał Cukrowski | Towards Data Science），以后有空再看。

参考资料：Wikipedia | SETAR model