SETAR Model

SETAR的全称是“Self-Exciting Threshold Auto-Regressive (SETAR) models”，可用于对一个时间序列变量的模式演变进行阶段划分。该模型最早于1977年由Howell Tong提出¹。

考虑如下关于时间序列变量$y_t$的简单自回归模型$AR(p)$： $$y_t={\gamma }_0+{\gamma }_1{y}_{t-1}+{\gamma }_2{y}_{t-2}+\cdots +{\gamma }_p{y}_{t-p}+{ϵ}_t$$ 其中${\gamma }_i(i=1,2,\dots ,p)$是自回归的系数，${ϵ}_t$~$WN(0;{\sigma }^2)$是服从正态分布的白噪音项。、

改写成向量形式： $$y_t={\mathbf{X}}_{\mathbf{t}}\gamma +\sigma {ϵ}_t$$ 其中${\mathbf{X}}_{\mathbf{t}}=[1,y_{t-1},y_{t-2},\dots ,y_{t-p}]$是时间变量的行向量，$\gamma =[{\gamma }_0,{\gamma }_1,{\gamma }_2,\dots ,{\gamma }_p{]}^{\mathrm{T}}$是系数列向量，${ϵ}_t$~$WN(0;1)$是服从标准正态分布的白噪音项。

在SETAR模型中，将$z_t=y_{t-d}$作为一个弱外源阈值变量(weakly exogenous threshold variable)，本质上就是$y_t$在迟滞项$d$之前的历史数值。SETAR模型的数学表达为： $$y_t={\mathbf{X}}_{\mathbf{t}}{\gamma }^{(j)}+{\sigma }^{(j)}{ϵ}_t,\mathrm{i}\mathrm{f}{r}_{j-1}<z_t<r_j$$ 其中$-\mathrm{\infty }=r_0<r_1<\cdots <r_k=+\mathrm{\infty }$定义了$z_t$可能落入的$k$个区间。

在R语言中可以通过使用tsDynpackage里的函数setar()来进行SETAR模型分析，用法可以查看官方文档R: Self Threshold Autoregressive model (r-project.org)。另外，Michał Cukrow有一篇博客里给出了比较详细的解读和R例程（Threshold Autoregressive Models — beyond ARIMA + R Code | by Michał Cukrowski | Towards Data Science），以后有空再看。

参考资料：Wikipedia | SETAR model